Dire que la convergence est uniforme revient à dire que la convergence se fait à la même vitesse dans tout l'intervalle
Définition
Définition :
La série \(\sum^\infty_{n=0}f_n(x)\,dx\) converge uniformément en \(x\) sur \([0,1]\) si $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in{\Bbb N},\forall n\geqslant N,\forall p\in{\Bbb N},\forall x,\qquad\left|\sum^{n+p}_{k=n} f_k(x)\right|\lt \varepsilon$$
Définition :
On dit qu'une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) converge uniformément vers une fonction \(f:X\to{\Bbb R}\) sur \(X\) si on a la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad n\geqslant N_\varepsilon\implies\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \varepsilon\quad(\forall x\in X)$$
Soit \(I\) un intervalle de \({\Bbb R}\) et \(f_n,n\in{\Bbb N}\) une suite de fonctions définies sur \(I\) et \(f\) une fonction également définie sur \(I\)
La suite \(f_n\) converge vers \(f\) uniformément sur \(I\) lorsque \(n\) tend vers l'origine si \(m_n=\sup_{i\in I}\lvert f_n(t)-f(t)\rvert\) a pour limite \(0\)
(Suite convergente, Borne supérieure, Erreur)
Une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) converge uniformément vers \(f:X\to{\Bbb R}\) sur \(X\) si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad n\geqslant N_\varepsilon\implies\sup_{x\in X}\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \varepsilon$$
(Borne supérieure)
Théorème (continuité des limites uniforme) :
Soit \(X\) un domaine (de \({\Bbb R}\)) et \(x_0\in X\)
Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\) qui converge au moins simplement vers une fonction \(f:X\to{\Bbb R}\) sur le domaine \(X\)
Si...
chaque fonction \(f_n:X\to{\Bbb R}\) est continue en \(x_0\)
la convergence \(f_n\to f\) est uniforme au moins sur un voisinage de \(x_0\) (i.e. Sur un domaine \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\cap X\subset X\) avec \(\delta\gt 0\))
théorème d'intégration des limites uniformes :
Si \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) au point \([a,b]\), alors \(f\) est continue par morceaux (intégrable) et \(\int^b_a f_n\longrightarrow\int^b_af\). Autrement dit, $${{\int^b_a f_n(x)\,dx}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{{\int^b_a f(x)\,dx}}$$
(Intégrale - Intégration)
Corollaire du théorème d'intégration des limites uniformes :
Soit \(f_n:I\to{\Bbb R}\) une suite de fonctions continues par morceaux où \(I\subset{\Bbb R}\) est un intervalle
On suppose \(f_n\overset{\text{CVU} }\longrightarrow f\) sur \(I\)
Si on fixe \(x_0\in I\) et on pose $$F_n(x)={{\int^x_{x_0}f_n(t)\,dt}}$$
Alors on a \(F_n(x)\longrightarrow F(x)\) avec $$F(x)={{\int^x_{x_0}f(t)\,dt}}$$
Démonstration : on applique le théorème d'intégration des limites uniformes sur l'intervalle \([x,x_0]\subset I\)
Corollaire du théorème d'intégration des limites uniformes :
Soit \(g_n:I\to{\Bbb R}\) une suite de fonctions de classe \(\mathscr C^1\) par morceaux
On suppose \(\forall n,g_n(x_0)=0\) pour un point \(x_0\in X\) fixé et que la suite \(g'_n:I\to{\Bbb R}\) convergent uniformément vers une fonction \(f\) sur \(I\)
Alors la suite \(g_n:I\to{\Bbb R}\) converge vers une fonction \(g:I\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur \(I\) et on a : $$g'=f=\lim_n g'_n$$
Démonstration : on utilise \(g_n(x)=\underbrace{g_n(x_0)}_{=0}+\int^x_{x_0}g'_n(t)\,dt\) et on appliquele corollaire précédent à la suite \(g'_n=f\) pour aboutir à \(\lim_n\underbrace{\int^x_{x_0}g'_n(t)\,dt}_{g_n(x)}=\underbrace{\int^x_{x_0}f(t)\,dt}_{:=g(x)}\)
(Théorème fondamental d'analyse)
Limite de l'intégrale
Théorème :
Soit \(f_n,f:[a,b]\to{\Bbb R}\) continues telles que \(f_n\to f\) uniformément
Alors $${{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\int_I f_n(x)\,dx}}={{\int_I\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)\,dx=\int_If (x)\,dx}}$$
(Continuité, Intégrale - Intégration)
Limite de la dérivée
Théorème :
Si \(\exists x_0\in I\) tel que \(g_n(x_0){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} g(x_0)\) (ou si \(g_n\to g\) simplement) et si \((g'_n)_n\) converge uniformément, alors \(g\in\mathcal C^1\) et \(g'=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } g_n'\)